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第三章 时域与频域响应
本章重点:
本章的内容为下一章的基础，将对数位信号在时域与频域的一些运作方式与特性作一番剖析与验证.
DSP的数学基础例如Z转换,反Z转换,离散傅立叶转换以及其特性.
以上两部份是DSP的重要骨干，希望读者能够深入练习与体会.
系统的时域响应
探讨系统在时间轴上的变化,称为时域响应.
在时域中表示一个系统的方法，最普遍的方式为动态方程式.以下各小节说明之.
3.1.1 动态方程式响应
系统在时域上的响应行为,可以用数学方程式来描述,称为系统的动态方程式.
系统的动态方程式，表现出在时间变化轴上的系统输入与输出的关联行为，在数位信号的表示法称为差分方程式(Difference equation).其形式为:
(3.1-1)
应用MATLAB的指令为filter.
范例3.1-1.模拟结果:如图3.1-1与图3.1-2.
图3.1-1 步阶响应图
图3.1-2 脉冲响应图
3.1.2 零态(Zero state)与零输入(Zero-input)响应
若不考虑输入的影响,只考虑初始状态值(Initial state condition)的响应,称为零输入响应(Zero input response).
若只考虑输入的影响,不考虑初始状态值的影响(即初始状态值为0),称为零态响应(Zero state response).
范例3.1–2.模拟结果:如图3.1-3至图3.1-5.
图3.1-3 输入信号图
图3.1-4 零态响应与零输入响应图
图3.1-5 零态响应加零输入响应与总响应图
3.1.3 线性摺积(Linear Convolution)
对一个线性非时变(LTI)的系统，输出的信号y(n)可以经由输入信号x(n)与系统的脉冲响应T(n)的线性摺积而求得.线性摺积的定义如下:

(3.1-2)
3.1-2式也可表为

(3.1-3)
以上的数学式3.1-2，如图3.1-6.数学式3.1-3，,如图3.1-7.
这两个图形可执行范例3.1-2-1程式获得.
MATLAB所用的指令为conv，
范例3.1-2-1;模拟结果:如图3.1-6与图3.1-7.
图3.1-6 脉冲响应对摺图
图3.1-7 输入信号对摺图
3.1.4 环形摺积(Circular Convolution)
环形摺积就是把线性摺积的头尾相连，变成环状，一个在内环，另一个在外环，然后每乘加一次，就内环不动，外环顺时钟方向转一次，再进行乘加，如此一直进行到尾端为止.其观念如图3.1-10所示.
图3.1-10 环形摺积示意图
环形平移
在程式的演算法中是以平移(Shift)来表现出来，如图3.1-11所示.
一个环形摺积运算，考量的有二个，一个是它总共有几点(以N表示)，另一个就是转动几点(以m表示).
图3.1-11 环形平移的序列示意图
图3.1-12 对摺后再摆成环形的序列图
以环形摺积求系统响应
把输入序列当内环,系统脉冲响应当外环,补零后进行环形摺积,结果便是系统响应.请参考范例3.1-6.
范例3.1-4模拟结果:如图3.1-13及图3.1-14.
范例3.1-5模拟结果如图3.1-15.范例3.1-6模拟结果:如图3.1-16与图3.1-17.
图3.1-13原信号及对摺后的信号图
图3.1-14取前10点作3点的环形平移图
图3.1-15 补零(5点)的环形平移
图3.1-16 输入信号与脉冲响应序列
图3.1-17 线性摺积与环形摺积图
3.1.5 区块摺积(Block Convolution)
处理的方式有二种，一为重叠储存法(Overlap-save)另一为重叠相加法(Overlap-add).
重叠储存法(Overlap-save) (参考范例3.1-7至范例3.1-9)
重叠储存法的步骤说明，如图3.1-18所示.
重叠相加法(Overlap-add) (参考范例3.1-10至范例3.1-12)
重叠相加法的步骤说明，如图3.1-19所示.
图3.1-18 重叠储存法示意图
图3.1-19 重叠相加示意图
3.2 系统的频域响应
3.2.1 Z转换(Z-transform)
在z转换中为了避免无穷级数发散的z范围限制条件，称为收敛区域(Region of convergence简称ROC其示意图如图3.2-1
图3.2-1 步阶函数z转换的ROC示意图
z转换的特性:
取样平移特性(sample shifting):参考范例3.2-1.
z定义域微分特性:参考范例3.2-1.模拟结果:如图3.2-2
频率平移特性(Frequency shifting):参考范例3.2-2.
对摺特性(Folding): 参考范例3.2-3与范例3.2-4.模拟结果:如图3.2-3与图3.2-4.
线性特性: 参考范例3.2-5.模拟结果:如图3.2-5.
摺积(Convolution)特性:系统在频域上Z转换的脉冲响应=系统在时域上的零态响应
图3.2-2 Z转换与响应序列结果图
图3.2-3 步阶函数的Z转换对摺特性验证图
图3.2-4 对摺后的Z转换与响应序列结果图
图3.2-5 Z转换的线性特性图
3.2.2 反Z转换(Inversion Z-transform)
部份分式法
长除法:
图3.2-6 反Z转换结果图
图3.2-7 zero-pole图
图3.2-8 响应序列图
图3.2-9 极零点图
3.2.3 旋转因子(Twiddle factor)
旋转因子(Twiddle factor)的作用是要把无穷的傅立叶级数，改成在有限的频域空间中进行
图3.2-10 旋转因子示意图
3.2.4 离散傅立叶转换(DFT)
根据前一节的旋转因子的介绍，与第二章的傅立叶转换的观念，本节将藉此推导到数位的傅立叶转换，称为离散傅立叶转换(Discrete Fourier Transform)简称DFT
图3.2-11 18点的DFT运算结果图
图3.2-12 26点的DFT运算结果图
图3.2-13 32点且输入信号补6个0的DFT运算结果图
3.2.5 反离散傅立叶转换(Inverse-DFT)
范例3.2-12
图3.2-14 26点的DFT运算结果图
图3.2-15 26点的Inverse-DFT运算结果图
图3.2-16 32点的DFT运算结果图
图3.2-17 32点的Inverse-DFT运算结果图
3.2.6 DFT的重要特性
周期性(Periodicity)
对摺性(Folding)
对称性(Symmetry)
线性(Linearity)
位移性(Shifting)
摺积性(Convolution)
相乘性(Multiplication)
图3.2-18 DFT的周期性大小图
图3.2-19 DFT的周期性相位图
图3.2-20 DFT的对摺性大小图
图3.2-21 DFT的对摺性相位图
图3.2-20a DFT的对摺性大小图
图3.2-21a DFT的对摺性相位图
图3.2-22 DFT的对称性大小图
图3.2-23 DFT的对称性相位图
图3.2-24 DFT的对称性实部图
图3.2-25 DFT的对称性虚部图
图3.2-26 DFT的线性特性大小图
图3.2-27 DFT的线性特性相位图
图3.2-28 DFT的平移性大小图(平移6点)
图3.2-29 DFT的平移性相位图(平移6点)
图3.2-30 DFT的摺积性大小图
图3.2-31 DFT的摺积性相位图
图3.2-32 DFT的相乘性大小图
图3.2-33 DFT的相乘性相位图